Una vez que comience a hacer trigonometría y cálculo, puede encontrar expresiones como sin (2θ), donde se le pedirá que encuentre el valor de θ. Jugar prueba y error con gráficos o una calculadora para encontrar la respuesta iría desde una pesadilla prolongada hasta totalmente imposible. Afortunadamente, las identidades de doble ángulo están aquí para ayudar. Estas son instancias especiales de lo que se conoce como una fórmula compuesta, que divide las funciones de las formas (A + B) o (A - B) en funciones de solo A y B.
Las identidades de doble ángulo para seno
Hay tres identidades de doble ángulo, una para las funciones seno, coseno y tangente. Pero las identidades seno y coseno se pueden escribir de múltiples maneras. Estas son las dos formas de escribir la identidad de doble ángulo para la función seno:
Hay incluso más formas de escribir la identidad de doble ángulo para coseno:
Afortunadamente, solo hay una forma de escribir la identidad de doble ángulo para la función tangente:
Imagina que estás frente a un triángulo rectángulo donde sabes la longitud de sus lados, pero no la medida de sus ángulos. Se te ha pedido que encuentres θ, donde θ es uno de los ángulos del triángulo. Si la hipotenusa del triángulo mide 10 unidades, el lado adyacente a tu ángulo mide 6 unidades y el lado opuesto al ángulo mide 8 unidades, no importa que no sepas la medida de θ; puede usar su conocimiento de seno y coseno, más una de las fórmulas de doble ángulo, para encontrar la respuesta.
Una vez que haya Si elige un ángulo, puede definir el seno como la relación del lado opuesto sobre la hipotenusa, y el coseno como la relación del lado adyacente sobre la hipotenusa. Entonces, en el ejemplo que se acaba de dar, tiene:
sinθ \u003d 8/10
cosθ \u003d 6/10
Encuentra estas dos expresiones porque son las más importantes bloques de construcción para las fórmulas de doble ángulo.
Debido a que hay tantas fórmulas de doble ángulo para elegir, puede seleccionar la que se vea más fácil de calcular y le devolverá el tipo de información que necesita. En este caso, porque ya conoce senθ y cosθ, sin (2θ) \u003d 2sinθcosθ parece conveniente.
Ya conoce los valores de sinθ y cosθ, así que sustitúyalos en la ecuación:
sin (2θ) \u003d 2 (8/10) (6/10)
Una vez que simplifique, tendrá:
sin (2θ) \u003d 96/100
La mayoría de las tablas trigonométricas se dan en decimales, por lo que luego trabaja la división representada por la fracción para convertirla a forma decimal . Ahora tiene:
sin (2θ) \u003d 0.96
Finalmente, encuentre el seno inverso o arcoseno de 0.96, que se escribe como sin -1 (0,96). O, en otras palabras, use su calculadora o una tabla para aproximar el ángulo que tiene un seno de 0.96. Como resultado, eso es casi exactamente igual a 73.7 grados. Entonces 2θ \u003d 73.7 grados. Divide cada lado de la ecuación entre 2. Esto te da: θ \u003d 36.85 grados
