Diga que tiene que ir de compras y que tiene un presupuesto ajustado. Desea comprar pasta y pan para un grupo grande, pero no puede gastar más de veinte dólares. En teoría, podría comprar solo pan y sin pasta, o mucho pan y solo una caja de pasta. ¿Cuántas combinaciones diferentes de cajas de pasta y hogazas de pan podría comprar? ¿Y cómo se puede obtener el máximo de cada uno por su dinero?
Los problemas como estos se llaman desigualdades lineales: ecuaciones cuyo gráfico es una línea, pero en lugar de usar el signo igual, usan símbolos de desigualdad como > o < ;.

TL; DR (demasiado largo; no lo leyó)

Para resolver una desigualdad lineal, debe encontrar todas las combinaciones de x
y y
que hacen que la desigualdad sea verdadera. Puedes resolver desigualdades lineales usando álgebra o graficando.

Para resolver una desigualdad lineal (o cualquier ecuación), tienes que encontrar todas las combinaciones de x
y y
eso hace que esa ecuación sea verdadera.

Puedes resolver desigualdades lineales algebraicamente o puedes representar las soluciones en un gráfico (¡o ambas cosas!). Analicemos juntos algunos problemas de ejemplo.

Solución de desigualdades lineales algebraicamente

Este proceso es casi lo mismo que resolver una ecuación lineal, pero con una excepción clave. Eche un vistazo al problema a continuación.

-4_x_ - 6 > 12 - x

Primero, obtenga todas las x
-es en el mismo lado del signo "mayor que". Agregue x
a ambos lados para cancelar x
en el lado derecho y solo tenga x
a la izquierda.

- 4_x_ (+ x
) - 6 > 12 - x
(+ x
)

-3_x_ - 6 > 12.

Ahora agregue seis a ambos lados:

-3_x_ - 6 (+ 6) > 12 (+ 6)

-3_x_ > 18.

Hasta ahora esto ha sido exactamente como cualquier ecuación lineal. ¡Pero ahora las cosas están a punto de cambiar! Cuando divide ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debe cambiar la dirección del símbolo de desigualdad.

Entonces, para -3_x_ > 18, vamos a dividir ambos lados por -3, y luego vamos a voltear el > firmar a a < signo.

x
< -6

Gráfico de desigualdades lineales

¿Qué hay de gráficos? Una vez más, el proceso es muy similar a las ecuaciones lineales, pero hay una diferencia importante. Ya que tiene que indicar todas las combinaciones de x
y y que hacen que una desigualdad sea verdadera, va a graficar la línea como de costumbre y luego va a sombrear en la sección del gráfico que le brinda el resto de las posibles soluciones.

Por ejemplo, ¿cómo representaría gráficamente la desigualdad y
< 3_x_ + 6?

En primer lugar, notaría que la desigualdad está en forma de pendiente-intersección, lo que significa que podemos usar el intercepto y
y la pendiente para graficar rápidamente la línea.

El intercepto y Spain es 6, así que dibuja un punto en (0, 6), luego usa el hecho de que la pendiente es 3 para subir tres unidades y una unidad a la derecha, luego dibuja un punto. Tu punto debe estar en (1, 9). Para hacer una línea ordenada y bonita, es bueno obtener tres puntos, así que dibuje un punto más comenzando en (1, 9) y subiendo tres, más de uno. Obtendrás un punto en (2, 12). Ahora dibuja una línea conectando los puntos.

¡Genial! Acabas de graficar la igualdad y
= 3_x_ + 6, pero recuerda que la ecuación original es y
< 3_x_ + 6. Usa este truco simple para sombrear la parte correcta del gráfico: cuando la desigualdad está en forma de pendiente-intersección, si tienes y
< , luego sombrea todo debajo de la línea. Si tiene y
> ;, sombree todo lo que esté sobre la línea.

¡Pero vuelva a verificar para asegurarse! Cuando sombrea una sección completa del gráfico, significa que cualquiera de esos puntos debe hacer que la ecuación sea verdadera. Toma un punto al azar que has sombreado y conecta x
y y
en la desigualdad original. Si funciona, estás listo para ir. Si no es así, debes verificar tu grafismo y /o tu álgebra.

Una última cosa: cuando tienes > o < ;, ¡la línea del gráfico debe estar punteada! Cuando la desigualdad utiliza ≥ o ≤, la línea debe ser sólida. Esto muestra si los puntos de la línea están incluidos o no en la solución.

Resuelve sistemas de desigualdades lineales

Resolver un sistema de desigualdades lineales es muy similar a resolver sistemas de ecuaciones. Hacer gráficas es la forma más fácil de resolver desigualdades lineales.

Para graficar un sistema de desigualdades lineales, grafica tu primera desigualdad como lo hiciste arriba y sombrea las áreas arriba o debajo de tu línea. Luego grafica la segunda desigualdad. Una vez más, sombreará todas las secciones del gráfico que hacen verdadera la desigualdad. ¡La mayoría de las veces, habrá un área en el gráfico que ha sombreado más de dos veces! Esta es la solución al sistema de desigualdades, porque es la sección del gráfico donde ambas desigualdades son verdaderas.