Si te gustan las rarezas matemáticas, te encantará el triángulo de Pascal. El nombre del matemático francés del siglo XVII Blaise Pascal, y conocido por los chinos durante muchos siglos antes de Pascal como el triángulo de Yanghui, en realidad es más que una rareza. Es una disposición específica de números que es increíblemente útil en el álgebra y la teoría de la probabilidad. Algunas de sus características son más desconcertantes e interesantes de lo que son útiles. Ayudan a ilustrar la misteriosa armonía del mundo según lo describen los números y las matemáticas.
TL; DR (Demasiado largo; No lo leyó)
Pascal deriva el triángulo al expandirse (x + y) ^ n para aumentar los valores de ny ordenar los coeficientes de los términos en un patrón triangular. Tiene muchas propiedades interesantes y útiles.
Construyendo el triángulo de Pascal
La regla para construir el triángulo de Pascal no podría ser más fácil. Comience con el número uno en el ápice y forme la segunda fila debajo con un par de unidades. Para construir la tercera y todas las filas subsiguientes, comience colocando una al principio y al final. Derive cada dígito entre este par de unidades agregando los dos dígitos inmediatamente encima. La tercera fila es por lo tanto 1, 2, 1, la cuarta fila es 1, 3, 3, 1, la quinta fila es 1, 4, 6, 4, 1 y así sucesivamente. Si cada dígito ocupa una casilla que es del mismo tamaño que todas las otras casillas, la disposición forma un triángulo equilátero perfecto delimitado por dos lados por unos y con una base de igual longitud que el número de la fila. Las filas son simétricas, ya que leen lo mismo hacia atrás y hacia delante.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1Aplicando el triángulo de Pascal en álgebra
Pascal descubrió el triángulo, que se conocía desde hacía siglos para los filósofos persas y chinos, cuando estudiaba la expansión algebraica de la expresión (x + y) n. Cuando expande esta expresión a la enésima potencia, los coeficientes de los términos en la expansión corresponden a los números en la enésima fila del triángulo. Por ejemplo, (x + y) 0 = 1; (x + y) 1 = x + y; (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 y así sucesivamente. Por esta razón, los matemáticos a veces llaman a la disposición el triángulo de coeficientes binomiales. Para números grandes de n, obviamente es más fácil leer los coeficientes de expansión del triángulo que calcularlos.
El triángulo de Pascal en la teoría de la probabilidad
Supongamos que arrojas una moneda a cierta cantidad de veces. ¿Cuántas combinaciones de cabezas y colas puedes obtener? Puede averiguar mirando la fila en el triángulo de Pascal que corresponde al número de veces que tira la moneda y agrega todos los números en esa fila. Por ejemplo, si tira la moneda 3 veces, hay 1 + 3 + 3 + 1 = 8 posibilidades. La probabilidad de obtener el mismo resultado tres veces seguidas es, por lo tanto, 1/8.
De manera similar, puede usar el triángulo de Pascal para encontrar cuántas maneras puede combinar objetos o elecciones de un conjunto determinado. Supongamos que tiene 5 bolas y desea saber de cuántas maneras puede elegir dos. Simplemente ve a la quinta fila y mira la segunda entrada para encontrar la respuesta, que es 5.
Patrones interesantes
El triángulo de Pascal contiene una serie de patrones interesantes. Éstos son algunos de ellos:
La suma de los números en cada fila es el doble de la suma de los números en la fila de arriba.
Leyendo en cada lado, la primera fila es todas, la segunda fila es la cuenta de números, la tercera son los números triangulares, la cuarta los números tetraédricos, etc.
Cada fila forma el exponente correspondiente de 11 después de realizar una modificación simple.
Puede derivar la serie de Fibonacci del patrón triangular.
Colorear todos los números impares y números pares de diferentes colores produce un patrón visual conocido como el triángulo de Sierpinski.
