En matemáticas, un recíproco de un número es el número que, multiplicado por el número original, produce 1. Por ejemplo, el recíproco para la variable x es 1 /x, porque x • 1 /x = x /x = 1. En este ejemplo, 1 /x es la identidad recíproca de x, y viceversa. En trigonometría, cualquiera de los ángulos que no sean de 90 grados en un triángulo rectángulo puede definirse por razones llamadas seno, coseno y tangente. Aplicando el concepto de identidades recíprocas, los matemáticos definen tres proporciones más. Sus nombres son cosecante, secante y cotangente. Cosecant es la identidad recíproca del seno, la secante la del coseno y la cotangente la de la tangente.
Cómo determinar las identidades recíprocas
Considere un ángulo θ, que es uno de los dos no-90- ángulos de grados en un triángulo rectángulo. Si la longitud del lado del triángulo opuesto al ángulo es "b", la longitud del lado adyacente al ángulo y frente a las hipotenusas es "a" y la longitud de la hipotenusa es "r", podemos definir los tres razones trigonométricas primarias en términos de estas longitudes.
La identidad recíproca de sen θ debe ser igual a 1 /sin θ, ya que ese es el número que, cuando se multiplica por sin θ, produce 1. Lo mismo es cierto para cos θ y tan θ. Los matemáticos le dan a estos recíprocos los nombres cosecante, secante y cotangente respectivamente. Por definición:
Puede definir estas identidades recíprocas en términos de la longitud de los lados del triángulo rectángulo de la siguiente manera:
< li> csc θ = r /b
Las siguientes relaciones son verdaderas para cualquier ángulo θ:
Otras dos identidades trigonométricas
Si conoces el seno y el coseno de un ángulo, puedes derivar la tangente. Esto es cierto porque sen θ = b /ry cos θ = a /r, entonces sen θ /cos θ = (b /r • r /a) = b /a. Dado que esta es la definición de tan θ, la siguiente identidad, conocida como la identidad del cociente, sigue:
La identidad pitagórica se desprende del hecho de que, para cualquier triángulo rectángulo con lados a y b e hipotenusa r, lo siguiente es verdadero: a 2 + b 2 = r 2. Reorganizando los términos y definiendo relaciones en términos de seno y coseno, se llega a la siguiente expresión: sin 2 θ + cos 2 θ = 1 Otras dos relaciones importantes siga cuando inserte identidades recíprocas para seno y coseno en la expresión anterior:
