La diferencia entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica es enorme. Mientras que en la mecánica clásica las partículas y los objetos tienen posiciones claramente definidas, en la mecánica cuántica (antes de una medición) solo se puede decir que una partícula tiene un rango de posiciones posibles, que se describen en términos de probabilidades por la función de onda.

La ecuación de Schrodinger define la función de onda de los sistemas de mecánica cuántica, y aprender a usarla e interpretarla es una parte importante de cualquier curso de mecánica cuántica. Uno de los ejemplos más simples de una solución a esta ecuación es para una partícula en una caja.
La función de onda

En mecánica cuántica, una partícula está representada por una función de onda. Esto generalmente se denota con la letra griega psi ( Ψ
) y depende tanto de la posición como del tiempo, y contiene todo lo que se puede saber sobre la partícula.

El módulo de esta función al cuadrado le indica la probabilidad de que la partícula se encuentre en la posición x
en el momento t
, siempre que la función esté "normalizada". Esto solo significa ajustada para que sea seguro encontrarla en alguna posición
x
en el momento t
cuando se suman los resultados en cada ubicación, es decir, la condición de normalización dice que:
\\ int _ {- \\ infty} ^ \\ infty \\ vertΨ \\ vert ^ 2 \u003d 1

Puede usar la función de onda para calcular el valor esperado para la posición de una partícula en el tiempo t
, donde el valor esperado solo significa el valor promedio que obtendría para x
si repitiera la medición muchas veces. Por supuesto, esto no significa que será el resultado que obtendría para cualquier medida dada, es decir, efectivamente
al azar, aunque algunas ubicaciones son generalmente mucho más probables que otras.

Hay muchas otras cantidades para las que puede calcular los valores esperados, como los valores de momento y energía, así como muchos otros "observables".
Ecuación de Schrodinger

La ecuación de Schrodinger es una ecuación diferencial que se utiliza para encuentre el valor de la función de onda y los estados propios de la energía de la partícula. La ecuación puede derivarse de la conservación de energía y las expresiones para la energía cinética y potencial de una partícula. La forma más simple de escribirlo es:
H (Ψ) \u003d iℏ \\ frac {\\ partialΨ} {\\ partial t}

Pero aquí H
representa el operador hamiltoniano, que en sí mismo es un expresión bastante larga:
H \u003d \\ frac {−ℏ} {2m} \\ frac {\\ partial ^ 2} {\\ partial x ^ 2} + V (x)

Aquí, m
es la masa, ℏ es la constante de Planck dividida por 2π, y V
( x
) es una función general para la energía potencial del sistema. El hamiltoniano tiene dos partes distintas: el primer término es la energía cinética del sistema y el segundo término es la energía potencial.

Cada valor observable en mecánica cuántica está asociado con un operador, y en el tiempo independiente versión de la ecuación de Schrodinger, el hamiltoniano es el operador energético. Sin embargo, en la versión dependiente del tiempo que se muestra arriba, el Hamiltoniano también genera la evolución temporal de la función de onda.

Combinando toda la información contenida en la ecuación, puede describir la evolución de la partícula en el espacio y tiempo y predecir los posibles valores de energía para él también.
La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo

La parte dependiente del tiempo de la ecuación se puede eliminar, para describir una situación que no evoluciona notablemente con el tiempo - separando la función de onda en partes de espacio y tiempo: Ψ
( x
, t
) \u003d Ψ
( x
) f
( t
). Las partes dependientes del tiempo pueden cancelarse de la ecuación, lo que deja la versión independiente del tiempo de la ecuación de Schrodinger:
H Ψ (x) \u003d E (Ψ (x))

E
es la energía del sistema. Tiene la forma exacta de una ecuación de valor propio, siendo Ψ
( x
) la función propia, y E
es el valor propio, razón por la cual el tiempo es independiente La ecuación a menudo se llama ecuación de valor propio para la energía de un sistema mecánico cuántico. La función de tiempo simplemente viene dada por:
f (t) \u003d e ^ {- iEt /ℏ}

La ecuación independiente del tiempo es útil porque simplifica los cálculos para muchas situaciones donde la evolución del tiempo no es particularmente crucial . Esta es la forma más útil para los problemas de "partícula en una caja" e incluso para determinar los niveles de energía de los electrones alrededor de un átomo.
Partícula en una caja (pozo cuadrado infinito)

Una de las soluciones más simples La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo es para una partícula en un pozo cuadrado infinitamente profundo (es decir, un pozo de potencial infinito), o una caja unidimensional de longitud base L
. Por supuesto, estas son idealizaciones teóricas, pero da una idea básica de cómo resolver la ecuación de Schrodinger sin tener en cuenta muchas de las complicaciones que existen en la naturaleza.

Con la energía potencial establecida en 0 fuera del pozo donde la densidad de probabilidad también es 0, la ecuación de Schrodinger para esta situación se convierte en:
\\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} \u003d E Ψ (x)

Y la solución general para una ecuación de esta forma es:
Ψ (x) \u003d A \\ sin (kx) + B \\ cos (kx)

Sin embargo, observar las condiciones de contorno puede ayudar a reducir esto . Para x
\u003d 0 y x
\u003d L, es decir, los lados de la caja o las paredes del pozo, la función de onda tiene que ir a cero. La función coseno tiene un valor de 1 cuando el argumento es 0, por lo que para que se cumplan las condiciones de contorno, la constante B
debe ser igual a cero. Esto deja:
Ψ (x) \u003d A \\ sin (kx)

También puede usar las condiciones de contorno para establecer un valor para k
. Dado que la función sin va a cero en los valores n_π, donde el número cuántico _n
\u003d 0, 1, 2, 3 ... y así sucesivamente, esto significa cuando x
\u003d L
, la ecuación solo funcionará si k
\u003d n_π /_L
. Finalmente, puede usar el hecho de que la función de onda debe normalizarse para encontrar el valor de A
(integrar en todos los valores posibles de x
, es decir, de 0 a L
, y luego establezca el resultado igual a 1 y reorganice), para llegar a la expresión final:
Ψ (x) \u003d \\ sqrt {\\ frac {2} {L}} \\ sin \\ bigg (\\ frac {nπ} {L} x \\ bigg)

Usando la ecuación original y este resultado, puedes resolver para E
, que produce:
E \u003d \\ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}

Tenga en cuenta que el hecho de que n
está en esta expresión significa que los niveles de energía son cuantificados
, por lo que no pueden tomar ninguno
valor, pero solo un conjunto discreto de valores específicos de nivel de energía dependiendo de la masa de la partícula y la longitud de la caja.
Partícula en una caja (pozo cuadrado finito)

El mismo problema se vuelve un poco más complicado si el pozo potencial tiene una altura de pared finita. Por ejemplo, si el potencial V
( x
) toma el valor V
_{0 fuera del pozo potencial y 0 dentro de él, la función de onda puede ser determinado en las tres regiones principales cubiertas por el problema. Sin embargo, este es un proceso más complicado, por lo que aquí solo podrá ver los resultados en lugar de ejecutar todo el proceso.}

Si el pozo está en x
\u003d 0 para x
\u003d L
nuevamente, para la región donde x
<0 la solución es:
Ψ (x) \u003d Be ^ {kx}

Para la región x
> L
, es:
Ψ (x) \u003d Ae ^ {- kx}

Donde
k \u003d \\ sqrt {\\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}

Para la región dentro del pozo, donde 0 < x
< L
, la solución general es:
Ψ (x) \u003d C \\ sin (wx) + D \\ cos (wx)

Donde
w \u003d \\ sqrt {\\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}

Luego puede usar las condiciones de contorno para determinar los valores de las constantes A
, B
, C
y D
, señalando eso además de tener valores definidos en las paredes del pozo, la función de onda y su primera derivada deben ser continuas en todas partes, y la función de onda debe ser finita en todas partes.

En otros casos, como cajas poco profundas, cajas estrechas y muchas otras situaciones específicas, hay aproximaciones y diferentes soluciones que puedes encontrar.