Energía cinética rotacional Ahora, si queremos describir la energía cinética de un objeto extendido que experimenta un movimiento más complejo, el cálculo se vuelve más complicado. Podríamos hacer aproximaciones sucesivas dividiendo el objeto extendido en pedazos pequeños, cada uno de los cuales puede aproximarse como una masa puntual, y luego calcular la energía cinética lineal para cada masa puntual por separado, y sumarlos todos para encontrar el total del objeto. Cuanto más pequeño separemos el objeto, mejor será la aproximación. En el límite donde las piezas se vuelven infinitesimales, esto se puede hacer con cálculo. ¡Pero estamos de suerte! Cuando se trata de movimiento rotacional, hay una simplificación. Para un objeto giratorio, si describimos su distribución de masa sobre el eje de rotación en términos de su momento de inercia, I Momento de inercia Las unidades SI para el momento de inercia son kgm 2 (que es consistente con nuestra noción de que depende de la masa y de la distancia desde el eje de rotación). Los momentos de inercia para diferentes objetos se muestran en la siguiente tabla: (Tabla de fórmulas de momento de inercia) Consejos El momento de inercia para cualquier objeto se puede encontrar usando el cálculo y la fórmula para el momento de inercia de una masa puntual. La fórmula para la energía cinética rotacional está dado por: Donde I La forma de la fórmula de la energía cinética rotacional es análoga a la ecuación de la energía cinética traslacional; El momento de inercia juega el papel de masa, y la velocidad angular reemplaza a la velocidad lineal. Tenga en cuenta que la ecuación de energía cinética rotacional da el mismo resultado para una masa puntual que la ecuación lineal. Si imaginamos una masa puntual m Si un objeto está girando y su centro de masa se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta (como sucede con un neumático rodante, por ejemplo), entonces la energía cinética total es suma de la energía cinética rotacional y las energías cinéticas traslacionales: La fórmula de energía cinética rotacional tiene muchas aplicaciones. Se puede usar para calcular la energía cinética simple de un objeto giratorio, para calcular la energía cinética de un objeto rodante (un objeto que experimenta movimiento rotativo y traslacional) y para resolver otras incógnitas. Considere los siguientes tres ejemplos: Ejemplo 1: La Tierra gira alrededor de su eje aproximadamente una vez cada 24 horas. Si suponemos que tiene una densidad uniforme, ¿cuál es su energía cinética rotacional? (El radio de la tierra es 6.37 × 10 6 m, y su masa es 5.97 × 10 24 kg.) Para encontrar la energía cinética rotacional, primero debemos encontrar el momento de inercia. Al aproximar la Tierra como una esfera sólida, obtenemos: La velocidad angular es 2π radianes /día. La conversión de esto a rad /s da: Entonces la energía cinética rotacional de la Tierra es entonces: Dato curioso: ¡Esto es más de 10 veces la energía total que el sol emite en un minuto! Ejemplo 2: Un cilindro uniforme de masa 0,75 kg y radio 0,1 m rueda por el suelo a una velocidad constante de 4 m /s. ¿Cuál es su energía cinética? La energía cinética total está dada por: En este caso, I \u003d 1/2 mr 2 es el momento de inercia de un cilindro sólido, y ω Simplificar la expresión para la energía cinética total y conectar valores da: Tenga en cuenta que no lo hicimos Se canceló debido a la relación directa entre la velocidad de rotación y la velocidad lineal. Ejemplo 3: Un estudiante en una bicicleta baja por una colina desde el reposo. Si la altura vertical de la colina es de 30 m, ¿qué tan rápido va el estudiante al pie de la colina? Suponga que la bicicleta pesa 8 kg, el conductor pesa 50 kg, cada rueda pesa 2.2 kg (incluida en el peso de la bicicleta) y cada rueda tiene un diámetro de 0.7 m. Aproxime las ruedas como aros y suponga que la fricción es insignificante. Aquí podemos usar la conservación de energía mecánica para encontrar la velocidad final. La energía potencial en la cima de la colina se convierte en energía cinética en la parte inferior. Esa energía cinética es la suma de la energía cinética traslacional de todo el sistema persona + bicicleta, y las energías cinéticas rotacionales de los neumáticos. Energía total del sistema: La fórmula para la energía total en términos de energías cinéticas en la parte inferior de la colina es: Resolver para v Finalmente, al ingresar números obtenemos nuestra respuesta:
describe la energía del movimiento resultante de la rotación o movimiento circular de un objeto. Recuerde que energía cinética lineal
de una masa m
que se mueve con velocidad v
viene dada por 1 /2mv 2. Este es un cálculo sencillo para cualquier objeto que se mueva en una ruta en línea recta. Se aplica al centro de masa del objeto, permitiendo que el objeto sea aproximado como una masa puntual.
, entonces podemos usar una ecuación de energía cinética rotacional simple, que se analiza más adelante en este artículo. .
Momento de inercia
es una medida de lo difícil que es hacer que un objeto cambie su movimiento de rotación sobre un eje en particular. El momento de inercia de un objeto giratorio depende no solo de la masa del objeto, sino también de cómo se distribuye esa masa alrededor del eje de rotación. Cuanto más lejos del eje se distribuye la masa, más difícil es cambiar su movimiento de rotación y, por lo tanto, mayor es el momento de inercia.
Ecuación de energía cinética rotacional
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2
es el momento de inercia del objeto y ω
es la velocidad angular del objeto en radianes por segundo (rad /s). La unidad SI para la energía cinética rotacional es el julio (J).
moviéndose en un círculo de radio r
con velocidad v
, entonces su velocidad angular es ω \u003d v /r y su momento de inercia es mr 2. Ambas ecuaciones de energía cinética dan el mismo resultado, como se esperaba:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v /r) ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} \\ frac {m \\ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\\ cancel {r ^ 2}} \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d KE_ {lin}
KE_ {tot} \u003d KE_ {rot} + KE_ {lin} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} { 2} mv ^ 2 Ejemplos de uso de la fórmula de energía cinética rotacional
I \u003d \\ frac {2} {5} mr ^ 2 \u003d \\ frac {2} {5} (5.97 \\ times10 ^ {24} \\ text {kg}) (6.37 \\ times10 ^ 6 \\ text {m}) ^ 2 \u003d 9.69 \\ times10 ^ {37} \\ text {kgm} ^ 2
2 \\ pi \\ frac {\\ text {radians}} {\\ cancel {\\ text {day}}} \\ frac {1 \\ cancel {\\ text {day}}} {86400 \\ text {segundos}} \u003d 7.27 \\ veces10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} { 2} I \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (9.69 \\ times10 ^ {37} \\ text {kgm} ^ 2) (7.27 \\ times10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}) ^ 2 \u003d 2.56 \\ veces 10 ^ {29} \\ text {J}
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2
está relacionado con la velocidad lineal a través de ω \u003d v /r_ ._
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} (\\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v /r) ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {1} {4} mv ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {3} { 4} mv ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {3} {4} (0.75 \\ text {kg}) (4 \\ text {m /s}) \u003d 2.25 \\ text {J}
E_ {tot} \u003d PE_ { top} \u003d mgh \u003d (50 \\ text {kg} + 8 \\ text {kg}) (9.8 \\ text {m /s} ^ 2) (30 \\ text {m}) \u003d 17,052 \\ text {J}
E_ {tot} \u003d KE_ {bottom} \u003d \\ frac {1} {2} I_ {tires} \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {1} {2} (2 \\ veces m_ {neumático} \\ veces r_ {neumático} ^ 2) (v /r_ {neumático}) ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d m_ {neumático} v ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d (m_ {neumático } + \\ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
da:
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {E_ {tot}} {m_ {tire} + \\ frac {1} {2} m_ {tot}}}
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {17,052 \\ text {J}} { 2.2 \\ text {kg} + \\ frac {1} {2} 58 \\ text {kg}}} \u003d 23.4 \\ text {m /s}
