Uno de los resultados más famosos en esta área es la conjetura de Kepler, que establece que ninguna disposición de esferas idénticas puede tener una densidad mayor que la red cúbica centrada en las caras (FCC). Esta conjetura fue propuesta por primera vez en 1611 por Johannes Kepler, pero no fue probada hasta 1998 por Thomas Hales.
La red FCC es una disposición tridimensional de esferas en la que cada esfera está rodeada por otras 12 esferas. Esta disposición tiene una densidad de aproximadamente el 74%, lo que significa que aproximadamente el 26% del espacio en la red está vacío.
La conjetura de Kepler también es válida para otros poliedros, como los cubos y los octaedros. Sin embargo, las disposiciones de empaquetamiento óptimas para estos poliedros son más complicadas que la red FCC.
Por ejemplo, la disposición de empaquetamiento óptima para cubos es la red cúbica centrada en el cuerpo (BCC), en la que cada cubo está rodeado por otros 8 cubos. La red BCC tiene una densidad de aproximadamente el 68%, lo que significa que aproximadamente el 32% del espacio en la red está vacío.
La disposición de empaquetamiento óptima para los octaedros es la red cúbica simple (SC), en la que cada octaedro está rodeado por otros 6 octaedros. La red SC tiene una densidad de aproximadamente el 52%, lo que significa que aproximadamente el 48% del espacio en la red está vacío.
Los científicos y matemáticos todavía están estudiando el problema de empaquetar poliedros en una caja. Hay muchas preguntas abiertas en esta área, como las disposiciones de empaquetamiento óptimas para otros poliedros y las disposiciones más densas posibles para mezclas de diferentes poliedros.
