En una secuencia geométrica, cada término es igual al término anterior multiplicado por un multiplicador constante distinto de cero llamado factor común. Las secuencias geométricas pueden tener un número fijo de términos, o pueden ser infinitos. En cualquier caso, los términos de una secuencia geométrica pueden volverse rápidamente muy grandes, muy negativos o muy cercanos a cero. En comparación con las secuencias aritméticas, los términos cambian mucho más rápidamente, pero mientras las secuencias aritméticas infinitas aumentan o disminuyen constantemente, las secuencias geométricas pueden acercarse a cero, dependiendo del factor común.

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Una secuencia geométrica es una lista ordenada de números en la que cada término es el producto del término anterior y un multiplicador fijo distinto de cero llamado factor común. Cada término de una secuencia geométrica es la media geométrica de los términos que le preceden y lo siguen. Las secuencias geométricas infinitas con un factor común entre +1 y -1 se aproximan al límite de cero a medida que se agregan los términos, mientras que las secuencias con un factor común mayor que +1 o menor que -1 van a más o menos infinito.

Cómo funcionan las secuencias geométricas

Una secuencia geométrica se define por su número inicial a, el factor común ry el número de términos S. La forma general correspondiente de una secuencia geométrica es:
a, ar, ar ^{2, ar 3 ... ar S-1.}

La fórmula general para el término n de una secuencia geométrica (es decir, cualquier término dentro de esa secuencia) es:
a _{n = ar ^n-1.}

La fórmula recursiva, que define un término con respecto al término anterior, es:
a _{n = ra n-1}

Un ejemplo de una secuencia geométrica con el número inicial 3, el factor común 2 y ocho términos es 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Calculando el último término usando el forma general enumerada anteriormente, el término es:

a _{8 = 3 × 2 ^{8-1 = 3 × 2 7 = 3 × 128 = 384.}}

Usando la fórmula general para el término 4:

a _{4 = 3 × 2 ^{4-1 = 3 × 2 3 = 24.}}

Si quiere usar la fórmula recursiva para el término 5, luego el término 4 = 24, y un _{5 es igual a:}

a _{5 = 2 × 24 = 48.}

Geométrico Propiedades de secuencia

Las secuencias geométricas tienen propiedades especiales en lo que se refiere a la media geométrica. La media geométrica de dos números es la raíz cuadrada de su producto. Por ejemplo, la media geométrica de 5 y 20 es 10 porque el producto 5 × 20 = 100 y la raíz cuadrada de 100 es 10.

En las secuencias geométricas, cada término es la media geométrica del término anterior y el término después de eso. Por ejemplo, en la secuencia 3, 6, 12 ... anterior, 6 es la media geométrica de 3 y 12, 12 es la media geométrica de 6 y 24, y 24 es la media geométrica de 12 y 48.

Otras propiedades de las secuencias geométricas dependen del factor común. Si el factor común r es mayor que 1, las secuencias geométricas infinitas se acercarán al infinito positivo. Si r está entre 0 y 1, las secuencias se acercarán a cero. Si r está entre cero y -1, las secuencias se acercarán a cero, pero los términos alternarán entre valores positivos y negativos. Si r es menor que -1, los términos tenderán hacia el infinito tanto positivo como negativo al alternar entre valores positivos y negativos.

Las secuencias geométricas y sus propiedades son especialmente útiles en los modelos científicos y matemáticos de los procesos del mundo real . El uso de secuencias específicas puede ayudar con el estudio de poblaciones que crecen a una tasa fija durante períodos de tiempo dados o inversiones que generan interés. Las fórmulas generales y recursivas permiten predecir valores precisos en el futuro en función del punto de partida y el factor común.