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  • Cómo saber la diferencia entre una asíntota vertical y un agujero en el gráfico de una función racional

    Existe una gran diferencia importante entre encontrar la asíntota vertical (s) del gráfico de una función racional y encontrar un agujero en el gráfico de esa función. Incluso con las calculadoras gráficas modernas que tenemos, es muy difícil ver o identificar que hay un agujero en el gráfico. Este artículo mostrará Cómo identificar tanto analíticamente como gráficamente.

    Utilizaremos una función racional dada como ejemplo para mostrar analíticamente, cómo encontrar una asíntota vertical y un agujero en el gráfico de esa función. Deje que la Función Racional sea, ... f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6).

    Factorizando el Denominador de f (x) = (x-2) /( x² - 5x + 6). Obtenemos la siguiente función equivalente, f (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)]. Ahora si el Denominador (x-2) (x-3) = 0, entonces la función Racional será Indefinida, es decir, el caso de División por Cero (0). Consulte el artículo "Cómo dividir por cero (0)", escrito por este mismo autor, Z-MATH.

    Veremos que División por cero, no está definido solo si la expresión racional tiene un numerador que no es igual a Cero (0), y el Denominador es igual a Cero (0), en este caso el Gráfico de la función irá sin límites hacia Infinito Positivo o Negativo en el valor de x que causa que la expresión del Denominador sea igual a Cero . Es en esta x que dibujamos una Línea Vertical, llamada Asymptote Vertical.

    Ahora, si el Numerador y el Denominador de la expresión Racional son ambos Cero (0), para el mismo valor de x, entonces el Se dice que la división por cero en este valor de x es 'sin sentido' o indeterminada, y tenemos un agujero en el gráfico en este valor de x.

    Entonces, en la función racional f (x) = ( x-2) /[(x-2) (x-3)], vemos que en x = 2 o x = 3, el Denominador es igual a Cero (0). Pero en x = 3, notamos que el Numerador es igual a (1), es decir, f (3) = 1/0, por lo tanto, una asíntota vertical en x = 3. Pero en x = 2, tenemos f (2 ) = 0/0, 'sin sentido'. Hay un agujero en el gráfico en x = 2.

    Podemos encontrar las coordenadas del agujero encontrando una función racional equivalente a f (x), que tiene todos los mismos puntos de f (x), excepto en el punto en x = 2. Es decir, vamos a g (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)], x ≠ 2, así que reduciendo a los términos más bajos tenemos g (x) = 1 /(x- 3). Sustituyendo x = 2, en esta función obtenemos g (2) = 1 /(2-3) = 1 /(- 1) = -1. entonces el Hoyo en la gráfica de f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6), está en (2, -1).

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