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    ¿Qué son las identidades de medio ángulo?

    Al igual que en álgebra, cuando comienzas a aprender trigonometría, acumulas conjuntos de fórmulas que son útiles para resolver problemas. Uno de estos conjuntos es las identidades de medio ángulo, que puede usar para dos propósitos. Una es convertir las funciones trigonométricas de (θ /2) en funciones en términos del más familiar (y más fácilmente manipulado) θ. La otra es encontrar el valor real de las funciones trigonométricas de θ, cuando θ se puede expresar como la mitad de un ángulo más familiar.

    Revisar las identidades de medio ángulo

    Muchos libros de texto de matemáticas aparecerán cuatro identidades primarias de medio ángulo. Pero al aplicar una mezcla de álgebra y trigonometría, estas ecuaciones se pueden masajear en varias formas útiles. No necesariamente tiene que memorizar todo esto (a menos que su maestro insista), pero al menos debe entender cómo usarlos:

    Identidad de medio ángulo para Sine

    < li> sin (θ /2) = ± √ [(1 - cosθ) /2]


    Identidad de medio ángulo para el coseno

  • cos (θ /2) = ± √ [(1 + cosθ) /2]


    Identidades de medio ángulo para tangente

  • tan (θ /2) = ± √ [(1 - cosθ) /(1 + cosθ)]

  • tan (θ /2) = sinθ /(1 + cosθ)

  • tan (θ /2) = (1 - cosθ) /sinθ

  • tan (θ /2) = cscθ - cotθ


    Identidades de medio ángulo para Cotangent

  • cot (θ /2) = ± √ [(1 + cosθ) /(1 - cosθ)]

  • cot (θ /2) = sinθ /(1 - cosθ )

  • cot (θ /2) = (1 + cosθ) /sinθ

  • cot (θ /2) = cscθ + cotθ


    Ejemplo de uso de identidades de medio ángulo

    Entonces, ¿cómo se usan las identidades de medio ángulo? El primer paso es reconocer que se trata de un ángulo que es la mitad de un ángulo más familiar.

    Buscar θ

    imaginar que se le pide que encuentre el seno del ángulo 15 grados . Este no es uno de los ángulos por los que la mayoría de los estudiantes memorizará los valores de las funciones trigonométricas. Pero si dejas que 15 grados sean iguales a θ /2 y luego resuelves para θ, encontrarás que:

    θ /2 = 15

    θ = 30

    Debido a que el θ resultante, 30 grados, es un ángulo más familiar, usar la fórmula de medio ángulo aquí será útil.

    Elija una fórmula de medio ángulo

    Porque le han pedido que encuentra el seno, realmente solo hay una fórmula de medio ángulo para elegir:

    sin (θ /2) = ± √ [(1 - cosθ) /2]

    Sustituyendo en θ /2 = 15 grados y θ = 30 grados te da:

    sin (15) = ± √ [(1 - cos (30)) /2]

    Si te hubieran pedido encuentre la tangente o cotangente, ambas formas medio multiplicadas de expresar su identidad de medio ángulo, simplemente elija la versión que parezca más fácil de trabajar.

    Resuelva el signo ±

    ± signo al comienzo de algunas identidades de medio ángulo significa que la raíz en cuestión podría ser positiva o negativa. Puede resolver esta ambigüedad utilizando su conocimiento de funciones trigonométricas en cuadrantes. Aquí hay una recapitulación rápida de qué funciones trigonométricas devuelven valores
    positivos en qué cuadrantes:

  • Cuadrante I: todas las funciones trigonométricas

  • Cuadrante II: solo seno y cosecante
  • Cuadrante III: solo tangente y cotangente
  • Cuadrante IV: solo coseno y secante

    Porque en este caso su ángulo θ representa 30 grados, que cae en el Cuadrante I, sabes que el valor sinusoidal que devuelve será positivo. Entonces puedes soltar el signo ± y simplemente evaluar:

    sin (15) = √ [(1 - cos (30)) /2]

    Sustituir los valores familiares

    Sustituir en el valor familiar conocido de cos (30). En este caso, use los valores exactos (a diferencia de las aproximaciones decimales de un gráfico):

    sin (15) = √ [(1 - √3 /2) /2]

    Simplifique Su ecuación

    A continuación, simplifique el lado derecho de su ecuación para encontrar un valor para sin (15). Comienza multiplicando la expresión debajo del radical por 2/2, lo que te da:

    sin (15) = √ [2 (1 - √3 /2) /4]

    Esto simplifica a:

    sin (15) = √ [(2 - √3) /4]

    Luego puedes factorizar la raíz cuadrada de 4:

    sin (15 ) = (1/2) √ (2 - √3)

    En la mayoría de los casos, esto es todo lo que simplificaría. Si bien el resultado puede no ser terriblemente bonito, ha traducido el seno de un ángulo desconocido en una cantidad exacta.

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