La mayoría de las personas recuerdan el teorema de Pitágoras de la geometría de los principiantes: es un clásico. Es a
^{2 + b
2 = c
2, donde a
, b
y c
son los lados de un triángulo rectángulo ( c
es la hipotenusa). ¡Bien, este teorema también puede ser reescrito para trigonometría!}

TL; DR (demasiado largo; no leído)

TL; DR (demasiado largo; no lo leyó)

Las identidades pitagóricas son ecuaciones que escriben el Teorema de Pitágoras en términos de las funciones trigonométricas.

Las principales identidades pitagóricas son:

sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1}

1 + tan ^{2 ( θ) = sec 2 ( θ
)}

1 + cuna ^{2 ( θ
) = csc 2 ( θ
)}

El Pitágoras las identidades son ejemplos de identidades trigonométricas: igualdades (ecuaciones) que usan funciones trigonométricas.

¿Por qué importa?

Las identidades pitagóricas pueden ser muy útiles para simplificar declaraciones y ecuaciones trigonométricas complicadas. ¡Memorícelos ahora, y puede ahorrarse mucho tiempo en el futuro!

Prueba usando las definiciones de las funciones trigonométricas

Estas identidades son bastante fáciles de probar si se piensa en las definiciones de las funciones trigonométricas. Por ejemplo, demostremos que sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1.}

Recuerde que la definición de seno es el lado opuesto /hipotenusa, y ese coseno es el lado adyacente /hipotenusa.

Entonces sin ^{2 = opuesto 2 /hipotenusa 2}

Y cos ^{2 = adyacente 2 /hipotenusa 2}

Puede agregar fácilmente estos dos juntos porque los denominadores son los mismos.

sin ^{2 + cos 2 = (opuesto 2 + adyacente 2) /hipotenusa 2}

Ahora mira otra vez en el Teorema de Pitágoras. Dice que a
<sup>2 + b
2 = c
2. Tenga en cuenta que a
y b | representan el lado opuesto y los lados adyacentes, y c representa la hipotenusa.</sup>

Puede reorganizar el ecuación dividiendo ambos lados entre c
^2:

a
^{2 + b
2 = c
2}

( a
^{2 + b
2) / c
2 = 1}

Ya que a
^{2 y b
2 son los lados opuestos y adyacentes y c
2 es la hipotenusa, tiene una declaración equivalente a la anterior, con (opuesto a 2 + adyacente 2) /hipotenusa 2. ¡Y gracias al trabajo con a
, b
, c
y el Teorema de Pitágoras, ahora puedes ver que esta afirmación es igual a 1!}

Entonces (opuesto ^{2+ adyacente 2) /hipotenusa 2 = 1,}

y por lo tanto: sin ^{2 + cos 2 = 1.}

(Y es mejor escribirlo correctamente: sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1).}

Las identidades recíprocas

Dediquemos unos minutos a ver también las identidades recíprocas. Recuerde que el recíproco es uno dividido por ("sobre") su número, también conocido como el inverso.

Dado que cosecante es el recíproco de seno, csc ( θ
) = 1 /sin ( θ
).

También puedes pensar en cosecante usando la definición de seno. Por ejemplo, seno = lado opuesto /hipotenusa. Lo contrario de eso será la fracción volteada al revés, que es hipotenusa /lado opuesto.

Del mismo modo, el recíproco del coseno es secante, por lo que se define como sec ( θ
) = 1 /cos ( θ) o hipotenusa /lado adyacente.

Y el recíproco de tangente es cotangente, por lo tanto cot ( θ) = 1 /tan ( θ <) br>), o cot = lado adyacente /lado opuesto.

Las pruebas para las identidades pitagóricas que usan secante y cosecante son muy similares a las de seno y coseno. También puede derivar las ecuaciones usando la ecuación "principal", sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1. Divida ambos lados por cos 2 ( θ
) para obtener la identidad 1 + tan 2 ( θ
) = sec 2 ( θ
). Divida ambos lados por sin 2 ( θ
) para obtener la identidad 1 + cot 2 ( θ <)> csc 2 ( θ <) br>).}

¡Buena suerte y asegúrese de memorizar las tres identidades pitagóricas!