Cuando se le presenta una matriz en una clase de matemática o física, a menudo se le pedirá que encuentre sus valores propios. Si no está seguro de lo que eso significa o cómo hacerlo, la tarea es abrumadora e implica una gran cantidad de terminologías confusas que empeoran las cosas. Sin embargo, el proceso de cálculo de valores propios no es demasiado desafiante si te sientes cómodo resolviendo ecuaciones cuadráticas (o polinómicas), siempre que aprendas los conceptos básicos de matrices, valores propios y vectores propios.

Matrices, autovalores y vectores propios: Qué significan

Las matrices son matrices de números donde A representa el nombre de una matriz genérica, como esta:

(
1 3 )

A
= (4 2)

Los números en cada posición varían, e incluso puede haber expresiones algebraicas en su lugar. Esta es una matriz 2 × 2, pero vienen en una variedad de tamaños y no siempre tienen el mismo número de filas y columnas.

Tratar con matrices es diferente de tratar con números ordinarios, y hay específicos reglas para multiplicar, dividir, sumar y restar entre sí. Los términos "valor propio" y "vector propio" se usan en el álgebra de la matriz para referirse a dos cantidades características con respecto a la matriz. Este problema de valor propio le ayuda a entender lo que significa el término:

A
∙ v = λ ∙ v es una matriz general como antes, v es algún vector, y λ es un valor característico. Mire la ecuación y observe que cuando multiplica la matriz por el vector v, el efecto es reproducir el mismo vector simplemente multiplicado por el valor λ. Este es un comportamiento inusual y obtiene el vector v y la cantidad λ de nombres especiales: el vector propio y el valor propio. Estos son valores característicos de la matriz porque la multiplicación de la matriz por el vector propio deja al vector sin cambios aparte de la multiplicación por un factor del valor propio.

Cómo calcular valores propios

Si tiene el problema de valor propio para la matriz de alguna forma, encontrar el valor propio es fácil (porque el resultado será un vector igual al original excepto multiplicado por un factor constante - el autovalor). La respuesta se encuentra al resolver la ecuación característica de la matriz:

det (A - λ I
) = 0

Donde I es la matriz de identidad, que está en blanco aparte de una serie de 1s que se ejecutan diagonalmente abajo de la matriz. "Det" se refiere al determinante de la matriz, que para una matriz general:

(ab)

A
= (cd)

dado por

det A = ad -bc

Así que la ecuación característica significa:

(a - λ b)

det (A - λ < b> I
) = (cd - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Como matriz de ejemplo, definamos A como:

(0 1)

A
= (-2 -3)

Entonces eso significa:

det (A - λ I
) = (0 - λ) (- 3 - λ) - (1 × -2) = 0

= -λ (-3 - λ) + 2

= λ < sup> 2 + 3 λ + 2 = 0

Las soluciones para λ son los valores propios, y se resuelve como cualquier ecuación cuadrática. Las soluciones son λ = - 1 y λ = - 2.

TL; DR (Demasiado larga; No leída)

En casos simples, los valores propios son más fáciles de encontrar. Por ejemplo, si los elementos de la matriz son todos cero aparte de una fila en la diagonal delantera (desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha), los elementos diagonales funcionan como los valores propios. Sin embargo, el método anterior siempre funciona.

Encontrar autovectores

Encontrar los autovectores es un proceso similar. Usando la ecuación:

(A - λ) ∙ v = 0

con cada uno de los valores propios que ha encontrado a su vez. Esto significa:

(a - λ b) (v _{1) (a - λ) v 1 + bv 2 (0)}

(A - λ) ∙ v = (cd - λ) ∙ (v _{2) = cv 1 + (d - λ) v 2 = (0)}

Puedes resolver esto considerando cada fila por turno. Solo necesita la proporción de v
_{1 a v
2, ya que habrá infinitas soluciones potenciales para v
1 y v
2.}